З. К. Силагадзе
Сколько ангелов может танцевать
на булавочной головке?

У вас вызывает улыбку этот вопрос? А было время подобные вопросы были предметом жарких споров среды видных схоластов. Один из них, Дунс Скот (1265–1308) увековечил своё имя даже в современном английском языке (англ. „dunce“ — „тупица“)[ 1 ]. Если ваша улыбка от этого расплылась ещё больше, то зря. Дунс Скот отнюдь не был тупицей. В 1305 г. в Париже он даже защитил докторскую диссертацию, в которой отстаивал (против доминиканцев-томистов) изначальную непорочность Пресвятой Девы Марии [ 2 ]. При этом, по легенде, мраморная статуя Богородицы одобрительно кивала ему головою [ 2 ]. Но легенды легендами, а исторически достоверно известно, что парижский факультет признал доводы Скота настолько убедительными, что тогда же постановил требовать впредь ото всех, ищущих учёной степени, клятвенного исповедания веры в непорочное зачатие [ 2 ]. Не пора ли напомнить об этом нашему ВАК-у?

скульптура Джеймса Кристенсена How Many Angels Can Dance on the Head of a Pin?Мне жаль вашей непорочной улыбки. Чтобы она сохранилась возможно дольше, я поместил здесь изображение прелестной скульптуры Джеймса Кристенсена [ 3 ] „How Many Angels Can Dance on the Head of a Pin?“ (англ. „pin“ имеет значение не только „булавка“, но и „кегля“. По приведённой ссылке вы можете посмотреть и другие произведения этого замечательного мастера).

А ваша улыбка непременно пропадёт после осознания того факта, что возникновение схоластики означает водораздел в истории христианства, водораздел который прошёлся по нашим с вами судьбам читатель!

Схоластикой называется возникшее на западе движение, посвящённое исследованию роли человеческого разума в христианской вере. И возникло это движение в эпоху „великого раскола“, когда христианство официально разделилось на восточный и западный лагеря, известные сегодня как Православие и Католицизм [ 1 ].

В результате богословский подход стал более рациональным на Западе в противоположность более мистическому — на Востоке [ 1 ]. Чтобы ни говорили атеисты, особенности религиозных верований народа оставляют глубокую печать на его истории, культуре и даже экономике. И глядя на сверкающее благополучие Запада, дьявол то и дело искушает усомниться в православном выборе наших предков. Мне кажется ответ Николая Васильевича Гоголя на эти искушения полезен не только Русскому народу, но и всем другим, которые хотят сохранить свою самобытность: „И прежде, и теперь, мне казалось, что русский гражданин должен знать дела Европы. Но я был убеждён всегда, что если при этой похвальной жадности знать чужеземное, упустишь из виду свои русские начала, то знания эти не принесут добра, собьют, спутают и разбросают мысли, на место того чтобы сосредоточить и собрать их. И прежде, и теперь я был уверен в том, что нужно очень хорошо и очень глубоко узнать свою русскую природу и что только с помощью этого знания можно почувствовать, что именно следует нам брать и заимствовать из Европы, которая сама этого не говорит“ [ 4 ].

Гоголь хорошо понимал, что на основе одной только догматической рациональности не ответишь на вопрос „Сколько ангелов может танцевать на булавочной головке?“ так прекрасно, как это сделал художник Кристенсен. Останется одно лишь умничание и высмеивание схоластов подобно поздним гуманистам, по существу открывающее дорогу в ад. „Поразительно: в то время, когда уже было начали думать люди, что образованием выгнали злобу из мира, злоба другой дорогой, с другого конца входит в мир, — дорогой ума, и на крыльях журнальных листов, как всепогубляющая саранча, нападает на сердце людей повсюду. Уже и самого ума почти не слышно“ [ 5 ].

Хотя физика и считается венцом рациональности и далёкой от восточного мистицизма, её ответ, если только его отыскать среди всепогубляющих современных журнальных листов, оказывается не менее занятным и поразительным, чем ответ искусства.

Во-первых, как это обычно делается в физике, предельно упростим ситуацию, оставляя только самое существенное. Что самое существенное в ангелах? Разумеется ангельская информация, которую они несут. Каждый ангел несёт по крайнее мере один бит информации (падший, не падший) [ 6 ]. Таким образом приходим к следующей задаче: каково максимальное количество информации, которую может содержать устройство с размером булавочной головки? Таков современный вариант вопроса о танцующих ангелах. В такой постановке современная физика может предложит вполне интересную интерпретацию. Например, наподобие такой, которую приводит Якоб Бекенштейн (Jacob Bekenstein) в своей статье в Scientific American [ 7 ]. Для удобства читателя, ниже мы приводим (красным цветом) русский перевод этой статьи с некоторыми нашими комментариями.

Спросите любого из чего сделан физический мир вокруг нас и скорее всего получите в ответ: „Из вещества и энергии“. Тем не менее, если инженерная наука, биология и физика чему-либо и научили нас, это то, что информация тоже является такой же важной составляющей частью. Робот на автомобильном заводе, даже имея в достаточном количестве метал и пластик, не может произвести ничего полезного без многочисленных инструкций, например, какую часть чем приварить и так далее. Рибосома в клетке вашего организма может иметь необходимые аминокислоты и достаточную энергию, высвобождающуюся при превращении АТФ в АДФ, но она не сможет синтезировать белки без информации, которая предоставляется ей через ДНК в ядре клетки. Столетнее развитие физики тоже учит нас, что информация является ключевым игроком в физических системах и процессах. Действительно, современная тенденция, начало которой было положено Джоном Уилером из Принстонского Университета, состоит в том, чтобы считать физический мир состоящим из информации, которой случайно сопутствуют энергия и вещество.

В современной физике информация ещё не стала центральным игроком, но может быть и станет, если квантовые компьютеры станут реальностью. В свое время Рене Декарт дал краткое и ёмкое определение термину „существовать“: „Мыслю — значит существую“. Но что значит Мыслить? Это обработка информации. Поэтому не удивительно, что Джон Арчибальд Уилер довел идею Декарта до логического конца: „бытие дается битом“ („it from bit“) [ 8 ]. Имеется в виду, что вещь должна содержать хотя бы один бит информации, который позволит ответить да или нет при проведении эксперимента над этой вещью, чтобы мы могли считать, что вещь существует.

Эта точка зрения предлагает по-новому взглянуть на старые вопросы. Информационная ёмкость устройств типа жёсткого диска компьютера растёт гигантскими шагами. Когда остановится этот прогресс? Какова максимальная информационная ёмкость устройства, который весит, скажем, меньше, чем грамм и занимает объём меньше, чем кубический сантиметр (примерно размер компьютерной микросхемы). Сколько информации требуется, чтобы описать всю Вселенную? Уместится ли это описание в память компьютера? Можем ли мы, как Уильям Блейк отчеканил своё время „увидеть вселенную в песчинке“ или эта идея всего лишь поэтическая вольность?

Примечательно, что недавние результаты в теоретической физике отвечают на некоторые из этих вопросов, и эти ответы могут оказаться важным ключом в поисках окончательной теории окружающей реальности. Изучая таинственные свойства чёрных дыр, физики вывели абсолютные пределы на то, сколько информации может содержать область пространства или некоторое количество вещества и энергии. Связанные с этим результаты указывают, что наша Вселенная, которую мы воспринимаем как имеющую три пространственных измерения, на самом деле может быть „написана“ на двухмерной поверхности, подобно голограмме. Наше повседневное восприятие мира как трёхмерного тогда было бы или основательно запутанной иллюзией, или просто одним из двух альтернативных путей рассмотрения реальности. Песчинка, видимо, не может охватить наш мир, но плоский экран мог бы.

Двадцатый век знаменует три революционные физические теории, которые изменили наши представления о мире и о том, что значит „существовать“: специальная теория относительности, квантовая механика и общая теория относительности. Специальная теория относительности на вопрос 19-го столетия „Что электродинамика нам говорит о природе реальности?“ дал простой, но парадоксальный для своего времени ответ: „Поля в пустом пространстве обладают физической реальностью, а среда, которая бы поддерживала эти поля — нет“ [ 9 ]. Общая теория относительности и квантовая механика ещё должны найти общий язык, чтобы предложить нам свою версию картины реальности. Некоторые думают, что теория суперструн и есть этот общий язык. Но пока этот „язык“ страшно далёк от реальной жизни. Для нас сейчас важно, что эта теория модифицирует общую теорию относительности, но не покушается на принципы квантовой механики. А квантовая механика предлагает самую загадочную картину мира, которую только мог представить себе физик 19-го столетия. Развитием Уилеровской концепции бита, как мерила бытия является ещё более радикальный ответ на вопрос „Что нам квантовая механика говорит о природе реальности?“: „Корреляции обладают физической реальностью, а то, что они коррелируют — нет“ [ 9 ]. Если вам эта точка зрения кажется слишком уж странной, могу успокоить — она не является общепринятой и вы можете не сомневаться в своём собственном существовании (пока). Но чтобы продемонстрировать, насколько странен квантовомеханический взгляд на мир, рассмотрим так называемый мысленный эксперимент Уилера с отложенным выбором [ 10 ], [ 11 ].

мысленный эксперимент Уилера с отложенным выборомИсточник 1 испускает по одному фотону по команде экспериментатора. На пути фотона расположен двухщелевой экран 2 а дальше фотоэмульсия 4, которая регистрирует место попадания фотона. Как известно, после записи множества таких событий, на фотоэмульсии появится интерференционная картина 4r — фотон проявит свою волновую природу, проходя одновременно через обе щели. Но фотоэмульсия скрывает другой измерительный прибор — пару плотно коллимированных телескопов 5 с камерами фотоумножителей, чувствительными к единичным фотонам и расположенными в фокусе телескопов, каждый из которых наведён на свою щель. Если фотоэмульсию убрать, будет совсем другой эксперимент — фотон проявит свою корпускулярную природу, пройдя или через одну, или через другую щель, что надёжно зафиксируют наши телескопы с фотоумножителями. Дуализм волна-частица, скажете вы. Конечно странно, но привыкли за долгую историю квантовой механики. Но здесь появляется Уилер, как фокусник, и показывает, что это наше представление о дуализме волна-частица никуда не годится. Он рассуждает так: экспериментатору известно, сколько времени требуется фотону, чтобы долететь до щели. Давайте подождём это время. Ещё какой-то промежуток времени фотон летит к фотоэмульсии. В течение этого времени мы можем спокойно решить, какой эксперимент провести, то есть быстро убрать фотоэмульсию или нет. Выходит, „решение“ фотона проявить свою волновую или корпускулярную природу при прохождении щели зависит от нашего решения, которое мы принимаем когда фотон давно уже миновал щели! Нет никакого дуализма волна-частица. Есть квантовая механика, которая раскрывает природу реальности, которая более странная, чем мы могли представить. Не зря говорил Гелл-Манн:Квантовая механика, эта таинственная, приводящая в замешательство дисциплина, которую никто из нас по-настоящему не понимает, но которую мы знаем как использовать“.

Подобные эксперименты с отложенным выбором действительно были проведены и, конечно, подтвердили квантовую механику. Есть даже совсем поражающий воображение эксперимент, когда решение экспериментатора откладывается до момента пока квант не достигнет фотоэмульсии. А потом информацию о том, прошёл он через обе щели или через одну из них, по желанию можно „стирать“ используя другой квант, квантово-механически запутанный с первым [ 12 ]. Сам Уилер, исследуя физический и философский подтекст похожих экспериментов, пришёл к часто цитируемой парадигме: „Ни один феномен не является феноменом до тех пор, пока это не наблюдаемый феномен.[ 11 ]“ Вот такой экстравагантный ответ на вопрос Эйнштейна „существует ли Луна, если никто на неё не смотрит?“ [ 13 ].

Рассказ о двух энтропиях

Формальная теория информации началась с ключевой работы 1948 года Американского прикладного математика Клода Шеннона, который ввёл ныне самую распространённую меру информационного содержания: энтропию. Энтропия до этого давно была центральной концепцией термодинамики, раздела физики, который изучает тепловые явления. Термодинамическая энтропия популярно понимается как мера беспорядка в физической системе. В 1877 г. Австрийский физик Людвиг Больцман дал более точное определение термодинамической энтропии через число разных микроскопических состояний частиц, составляющих кусок вещества, при которых этот кусок всё ещё выглядит как один и тот же макроскопический кусок вещества. Например, для воздуха в комнате вокруг вас, надо посчитать, сколькими способами могут быть распределены индивидуальные молекулы газа в комнате и всевозможные пути их движения.

Когда Шеннон рассматривал вопрос, каким образом количественно измерять информацию, которая содержится, скажем, в сообщении, логика привела его к формуле такого же вида, как у Больцмана. Энтропия Шеннона для сообщения равна числу двоичных знаков, или битов, нужных для кодировки этого сообщения. Энтропия Шеннона ничего не говорит нам о качестве информации, которое сильно зависит от содержания. Тем не менее, как объективная мера количества информации, она весьма полезна в науке и технике. Например, разработка каждого современного средства коммуникации, от сотовых телефонов до модемов и до проигрывателей компакт-дисков, не обходится без энтропии Шеннона.

Термодинамическая энтропия и энтропия Шеннона концептуально эквивалентны: число разных комбинаций в энтропии Больцмана отражает количество информации Шеннона, которое бы понадобилась для обеспечения возможности осуществить любую из этих комбинаций. Однако, эти две энтропии имеют два важных различия. Во-первых, термодинамическая энтропия, используемая химиком или инженером холодильной техники, выражается в единицах энергии, делённой на температуру, тогда как энтропия Шеннона, используемая инженером коммуникационных сетей, выражаясь в битах, по существу безразмерна. Это различие — всего лишь дело соглашения.

Даже выраженные в одинаковых единицах, типичные значения двух энтропий отличаются многократно по величине. Кремниевая микросхема, несущая гигабайт данных, например, имеет Энтропию Шеннона порядка 1010 бит (один байт равен восьми битам). Это во много раз меньше термодинамической энтропии микросхемы, которая примерно равна 10 23 бит при комнатной температуре. Это различие возникает потому, что две энтропии вычисляются для разных степеней свободы. Степень свободы — это любая величина, которая может изменяться, подобно координате, характеризующей положение частицы, или одной из компонент её скорости. Для энтропии Шеннона важно только общее состояние каждого миниатюрного транзистора, вытравленного в кремниевом кристалле. Транзистор или открыт или нет, что соответствует или 1 или 0 — простая двоичная степень свободы. Термодинамическая энтропия, наоборот, зависит от состояний всех миллиардов атомов (и электронов парящих около них), составляющих каждый из транзисторов. Миниатюризация приближает день, когда каждый атом будет хранить один бит информации для нас. В такой воображаемой микросхеме энтропия Шеннона приблизится по величине к термодинамической энтропии материала микросхемы. Когда две энтропии вычислены для одинаковых степеней свободы, они совпадают.

Каковы самые первичные степени свободы? Атомы, в конце концов, сделаны из электронов и ядер. Ядра представляют собой конгломерат протонов и нейтронов и эти последние в свою очередь состоят из кварков. Сегодня многие физики рассматривают электроны и кварки как возбуждения суперструн, которые они гипотетически принимают за самые фундаментальные сущности. Но превратности последнего столетия неожиданных открытий в физике учит нас не быть догматиками. Может быть в нашей Вселенной уровней структуры больше, чем можно представить в современной физике.

Нельзя вычислить максимальную информационную ёмкость некоторого количества вещества, или, что эквивалентно, его настоящую термодинамическую энтропию, без знания природы самых фундаментальных составляющих материи или самого глубокого уровня структуры, который я назову уровнем X. Это незнание не создаёт проблем для практической термодинамики, например, автомобильных двигателей, так как при этом кварки внутри атомов могут быть игнорированы — они не меняют своего состояния под действием сравнительно мягких условий в двигателе. Но, наблюдая удивительный прогресс в миниатюризации, можно играючи представить день, когда кварки будут использованы для хранения информации, возможно, один бит на кварк. Сколько информации можно тогда вместить в наш односантиметровый куб? И сколько, если мы обуздаем суперструны или даже более глубокий, пока ещё невообразимый уровень? Как ни удивительно, результаты развития физики гравитации за последнее три десятилетия предоставляют некоторые ясные ответы на эти казалось бы сумбурные вопросы.

Говорят, что использовать термин „энтропия“ советовал Шеннону фон Нейман, добавляя при этом: „это даст вам большое преимущество в спорах, так как никто на самом деле толком не знает, что же такое энтропия“ [ 14 ]. Слова Неймана подтверждается тем фактом, что Ч.П. Сноу получил весьма холодную и отрицательную реакцию своих коллег, когда он в 1959 г. в своей Ридовской лекции в Кембридже провозгласил, что незнание второго начала равносильно незнакомству с Шекспиром. Зря он не внял советам: ведь ещё в 1873 году ридовского лектора предупреждали „не говорить о втором начале термодинамики как о чём-то давно известном культурным людям, которые не слышали даже о первом начале“ [ 15 ].

Клод Шеннон мог бы стать мультимиллиардером, так как вся современная индустрия цифровой передачи данных основана на его идеях. Но он умер 1 марта 2001 года в массачусетском доме для престарелых, забытый почти всеми. В сакраментальном вопросе „Иметь или быть“ [ 16 ], ему было судьбой предначертано быть гениальным и эксцентричным человеком. Шеннон неоднократно отмечал, что мотивацией его деятельности в значительно большей степени было любопытство, чем практическая выгода: „Я всегда следовал своим интересам, не думая ни о том, во что они для меня выльются, ни об их ценности для мира. Я потратил уйму времени на совершенно бесполезные вещи… Мне просто было интересно, как эти вещи устроены“. Временами Шеннон любил разъезжать по коридорам Bell Labs на одноколёсном велосипеде, да ещё жонглируя при этом мячами. А после ухода в 1978 году на пенсию учёный полностью отдался своей давней страсти — жонглированию. Шенноном было построено несколько жонглирующих машин и даже была создана „общая теория жонглирования“ [ 17 ].

Если вам всё-таки захотелось глубже понять связь между физикой и информацией, можно посоветовать не очень техническую статью [ 18 ].

Термодинамика чёрных дыр

Чёрная дыра играет роль центрального игрока в этих исследованиях. Существование чёрных дыр есть следствие общей теории относительности, геометрической теории гравитации, созданной Альбертом Эйнштейном в 1915 г. В этой теории гравитация есть следствие искривления пространства-времени, которое заставляет предметы двигаться, как если бы их тянула сила притяжения. И наоборот, искривление пространства-времени вызывается присутствием материи и энергии. Согласно уравнениям Эйнштейна, достаточно большая концентрация вещества или энергии так сильно искривляет пространство-время, что оно замыкается, образуя чёрную дыру. Законы общей теории относительности запрещают вещам, упавшим в чёрную дыру, вернуться обратно. По крайнее мере, так выглядят дела, если пренебрегать квантовыми свойствами материи. Точка невозврата (точнее поверхность в пространстве-времени — ред. ), так называемый „горизонт событий“ чёрной дыры, имеет ключевое значение. В простейшем случае горизонт событий чёрной дыры представляет собой сферу, поверхность которой больше для более массивной чёрной дыры.

Невозможно определить, что происходит внутри чёрной дыры. Никакая детальная информация не может выйти из-под горизонта событий и вырваться во внешний мир. Исчезая навсегда в чёрной дыре, кусочек вещества, однако, оставляет некоторые следы. Его энергия (а каждую массу можно рассмотреть как энергию согласно формуле Эйнштейна E = mc 2 ) проявляет себя во возрастании массы чёрной дыры. Если кусочек вещества поглощается с орбиты, то соответствующий момент импульса добавляется к моменту импульса чёрной дыры. Как масса, так и момент чёрной дыры измеримы по их влиянию на окружающее чёрную дыру пространство-время. В этом смысле законы сохранения энергии и момента импульса не нарушаются чёрными дырами. Другой фундаментальный закон, второй закон термодинамики, наоборот, кажется нарушенным.

Второй закон термодинамики обобщает обычные наблюдения, что большинство процессов в природе не обратимо: чайная чашка падает со стола и разбивается, но никто никогда не наблюдал, чтобы осколки сами притянулись на стол и снова объединились в чайную чашку. Второй закон термодинамики запрещает такой обратный процесс. Он говорит, что энтропия изолированной физической системы никогда не уменьшается. Самое большее — энтропия не будет меняться, а обычно она растёт. Этот закон является центральным в физической химии и в инженерном деле. Можно утверждать, что он является физическим законом с наибольшим влиянием вне физики.

чёрная дыра имеет энтропию, пропорциональную площади поверхности её горизонта событийКак впервые подчеркнул Уилер, когда вещество исчезает в чёрной дыре, её энтропия пропадает навсегда, и, следовательно, второй закон термодинамики как бы нарушается. Ключ к разгадке этой загадки появился в 1970 г., когда Деметриос Христодулу (Demetrious Christodoulou), в то время аспирант Уилера в Принстоне, и Стивен Хокинг в Кембридже независимо друг от друга обнаружили, что в различных явлениях, таких как, например, слияние двух чёрных дыр, суммарная площадь горизонта событий никогда не уменьшается. Аналогия с законом возрастания энтропии подсказала мне в 1972 г. идею, что чёрная дыра имеет энтропию, пропорциональную площади поверхности её горизонта событий. Моя гипотеза состояла в том, что когда материя падает в чёрную дыру, увеличение энтропии чёрной дыры всегда компенсирует или превосходит по величине „потерянную“ энтропию материи. Более обобщённо, сумма энтропии чёрных дыр и обычной энтропии вне чёрных дыр никогда не уменьшается. Это и есть обобщённый второй закон — ОВЗ, для краткости.

ОВЗ выдержал множество суровых испытаний, правда, чисто теоретического характера. Когда звезда коллапсирует и образует чёрную дыру, энтропия чёрной дыры во много раз превосходит энтропию звезды. В 1974 г. Хокинг показал, что из-за квантовых процессов чёрная дыра спонтанно излучает тепловую радиацию, теперь известную под именем „излучение Хокинга“. Теорема Христодулу-Хокинга нарушается в этом случае (масса чёрной дыры и, следовательно, площадь её горизонта уменьшается), но ОВЗ торжествует и в этом случае: энтропия возникающей радиации более чем компенсирует уменьшение энтропии чёрной дыры.

В 1986 г. Рафаель Зоркин из Сиракузского Университета, используя свойство горизонта предотвращать любое влияние информации внутри чёрной дыры на события вне чёрной дыры, показал, что ОВЗ (или что-то очень похожее на него) должен быть справедлив для всех процессов с участием чёрных дыр, которые только можно вообразить. Его глубокий анализ ясно показывает, что энтропия, которая входит в ОВЗ, соответствует уровню X, чем бы этот уровень ни был.

Процесс Хокинговского излучения позволил Хокингу вычислить коэффициент пропорциональности между энтропией чёрной дыры и площадью её горизонта: энтропия чёрной дыры в точности равна одной четверти площади горизонта событий, измеренный в единицах Планковской площади (Планковская длина, около 10 –33 см является фундаментальной длиной, связанной с квантовой гравитацией. Планковская площадь — это её квадрат). Даже в термодинамическом контексте, это — огромная энтропия. Энтропия чёрной дыры диаметром 1 см будет примерно 10 66 бит, что приблизительно равно термодинамической энтропии куба воды со стороной 10 миллиардов километров.

Разве не удивительно, что термодинамику — основный инструмент инженеров тепловых машин, можно применить к таким эзотерическим объектам, как чёрные дыры? Кто хочет более глубоко покопаться в этом парадоксе, может начать со статьей [ 19 ]. О самих чёрных дырах популярно можно прочитать в книге Хокинга [ 20 ].

О термодинамике Альберт Эйнштейн как-то писал: „Это единственная физическая теория общего содержания, относительно которой я убеждён, что в рамках применимости её основных понятий она никогда не будет опровергнута“. Тем не менее, в 1988 г. бразильский учёный Константино Тсаллис предпринял попытку расширить область применения термодинамики и статистической механики, что вызвало большой интерес и многочисленные применения [ 21 ].

Мир как голограмма

ОВЗ позволяет поставить верхний предел на информационную вместительность для любой изолированной физической системы, предел, который учитывает информацию на всех уровнях структуры, вплоть до уровня X. В 1980 г. я стал изучать первый такой предел, названный универсальным энтропийным пределом. Он ограничивает энтропию, которую может иметь некоторая масса определённых размеров. Сходная идея, голографический предел был получен в 1995 г. Леонардом Сасскиндом из Стэнфордского университета. Он ограничивает максимальную энтропию, которую может содержать вещество и энергия, заключённые в определённом объёме пространства.

энтропия изолированной физической системы с поверхностью A не превышает A/4В своей работе о голографическом пределе, Сасскинд рассмотрел любую приблизительно сферически-симметричную изолированную массу, которая сама не является чёрной дырой и заключена внутри поверхности A. Если масса может коллапсировать в чёрную дыру, у этой дыры площадь горизонта будет меньше, чем A. Энтропия чёрной дыры, следовательно, не превосходит величину A/4. Но согласно ОВЗ, энтропия системы не может уменьшаться. Следовательно, первоначальная энтропия исходной массы была не больше A/4. Как видим, энтропия изолированной физической системы с поверхностью A не превышает A/4. Но что если масса не коллапсирует спонтанно? В 2000 г. я показал, что можно использовать маленькую чёрную дыру, чтобы превратить исходную систему масс в чёрную дыру почти такую, которую использовал Сасскинд в своих рассуждениях. (Такой мысленный процесс с использованием маленькой чёрной дыры предложил Я.Б. Зельдович лет на 40 раньше для того, чтобы показать метастабильность любой системы масс относительно коллапса — ред..) Энтропийный предел, следовательно, не зависит от общего устройства системы и от природы уровня X. Он зависит только от справедливости ОВЗ.

Теперь мы можем ответить на те ускользающие вопросы о максимальном количестве хранимой информации. Устройство, имеющее 1 см размер, в принципе может хранить до 10 66 бит информации — умопомрачительная величина. Видимая Вселенная содержит по крайнее мере 10 100 бит энтропии, которую в принципе можно поместить в сфере радиусом в одну десятую светового года. Однако оценить энтропию Вселенной сложно, и значения энтропии гораздо большие, требующие для упаковки сферы почти такого же размера, как сама Вселенная, совсем не исключены.

Представим, что мы собираем микросхемы памяти компьютера в большую кучуНо совсем другой аспект голографического предела является действительно удивительным. В частности, максимальное количество энтропии зависит от окружающей поверхности, а не от объёма. Представим, что мы собираем микросхемы памяти компьютера в большую кучу. Число транзисторов и, следовательно, информационная ёмкость растут с объёмом кучи. То же самое происходит с полной термодинамической энтропией всех микросхем. Однако теоретическая максимальная информационная ёмкость области пространства, занятой микросхемами, растёт, заметьте, только с увеличением поверхности. Так как объём растёт быстрее, чем площадь поверхности, наступит момент, когда энтропия всех микросхем превысит голографический предел. Кажется, тогда или ОВЗ должен нарушиться или наши представления об информационной и энтропийной ёмкости окажутся неправильными. На самом деле, фиаско терпит само собрание микросхем: под действием собственной гравитации оно коллапсирует и превращается в чёрную дыру до того, как голографический предел будет превзойдён. После этого каждая дополнительная микросхема будет увеличивать массу и площадь поверхности чёрной дыры в полном согласии с ОВЗ.

Этот удивительный результат — что информационная ёмкость зависит от площади поверхности — находит естественное объяснение, если голографический принцип, предложенный в 1993 г. Нобелевским лауреатом Герардом Хоофтом из Нидерландов и развитый дальше Сасскиндом, соответствует истине. В обычной жизни голограмма представляет специальную разновидность фотографии, при которой воссоздаётся полный трёхмерный образ предмета при специальном освещении. Вся информация, описывающая трёхмерную картину, закодирована в виде тёмных и светлых полос на двумерной плёнке, готовой к воспроизведению. Голографический принцип утверждает, что некоторый аналог этой оптической магии применим для полного физического описания любой системы в трёхмерной области: он утверждает, что другая физическая теория, определённая только на двумерной поверхности, ограничивающей данную область, полностью описывает трёхмерную физику внутри области. Если трёхмерная система полностью может быть описана некоторой физической теорией, обитающей целиком на двумерной границе области, то мы вправе ожидать, что информационное содержание системы не будет превышать соответствующее описание на граничной поверхности.

кроликиКак вы думаете, что изображено на этой двумерной картине? Если ваша работа связана компьютером и требует непрерывного напряжения глаз, то самое время дать глазным мышцам расслабиться путём переключения на более удалённые планы. Представьте себе, что вы рассматриваете не пёструю плоскую панораму на экране монитора, а некий объект, спрятанный за экраном на расстоянии сантиметров этак 15–20. Если вам удастся так расфокусировать ваше зрение, произойдёт чудо и вы увидите двух кроликов, причём во всём трёхмерном великолепии. Подобные стереограммы впервые создал в 1989 году Кристофер Тайлер, используя результаты известного психолога Белы Юлеша [ 22 ].

Наряду с голограммами, стереограммы тоже хорошие метафоры голографического принципа. Но при этом опять поднимается вопрос об соотношении реальности и сознания. Ведь трёхмерную картину кроликов конструирует наш мозг! Мы не будем здесь дальше развивать эту сложную и запутанную тему. Любителям нестандартных и интересных мыслей укажем на книгу Фритьофа Капра „Точка поворота“ [ 23 ].

Вселенная, нарисованная на своей границе

Можем ли мы применить голографический принцип ко всей Вселенной? Реальная Вселенная является 4-мерной системой: она имеет объём и временное протяжение. Если физика нашей Вселенной голографическая, тогда должно существовать альтернативное множество физических законов, действующих где-нибудь на трёхмерной границе пространства-времени и полностью определяющих нашу привычную 4-мерную физику. Мы пока не знаем ни одной трёхмерной теории, которая работает подобным образом. На самом деле, какую поверхность мы должны использовать как границу Вселенной? Первый шаг к реализации подобных идей состоит в рассмотрении моделей, которые проще, чем наша реальная Вселенная.

Некоторый класс примеров, где голографический принцип работает, использует так называемое анти де Ситтеровское пространство-время. Первоначально пространство-время де Ситтера представляло собой модель Вселенной, полученную впервые датским астрономом Виллем де Ситтером в 1917 г. в результате решения уравнений Эйнштейна, содержащих отталкивающую силу, известную как космологическая константа. Пространство-время де Ситтера пустое, оно расширяется с ускорением и имеет очень высокую симметрию. В 1998 г. астрономы, изучая взрывы далёких сверхновых, пришли к выводу, что наша Вселенная тоже расширяется с ускорением и, возможно, в будущем всё больше и больше будет походить на пространство-время де Ситтера. Если отталкивание в уравнениях Эйнштейна заменить на притяжение, то решение де Ситтера перейдёт в анти де Ситтеровское пространство-время, которое также высоко-симметрично. Для голографической концепции более важен тот факт, что анти де Ситтеровское пространство-время имеет границу „на бесконечности“, и эта граница в значительной степени похожа на наше каждодневное пространство-время.

Используя пространство-время анти де Ситтера, теоретики разработали конкретный пример работающего голографического принципа: вселенная, которая описывается теорией суперструн, действующих в пространстве-времени анти де Ситтера, полностью эквивалентна квантовой теории поля, действующей на границе этого пространства-времени. Таким образом, всё великолепие теории суперструн в анти де Ситтеровской вселенной „нарисовано“ на границе этой вселенной. Хуан Малдацена, работавший тогда в Гарвардском Университете, впервые сделал такое предположение в 1997 г. для 5-мерного анти де Ситтеровского пространства, и потом это было подтверждено для многих случаев Эдвардом Виттеном из Института Перспективных Исследований в Принстоне, а также Стивеном Губсером, Игорем Клебановым и Александром Поляковым из Принстонского Университета. Примеры таких голографических соотношений ныне известны для пространств целого ряда разных размерностей.

Существа обитающие в одном из таких мировЭтот результат означает, что две казалось бы совершенно разные теории, даже не действующие в пространствах одинаковыми измерениями, на самом деле эквивалентны друг другу. Существа обитающие в одном из таких миров не могли бы определить живут ли они в 5-мерном пространстве теории струн или 4-мерном пространстве квантовой теории поля точечных частиц. (Конечно, структура их мозгов могла бы создать для них твёрдую уверенность в пользу того или иного описания, подобно тому, как наш мозг создаёт внутреннее восприятие того, что наша Вселенная имеет три пространственных измерения).

Голографическое соответствиеГолографическое соответствие может позволить заменить сложные вычисления на 4-мерном граничном пространстве, как например поведение кварков и глюонов, на другие, более простые вычисления в очень симметричном 5-мерном анти де Ситтеровском пространстве-времени. Соответствие работает и в другую сторону: Виттен показал, что чёрная дыра в пространстве-времени анти де Ситтера соответствует горячему излучению в альтернативной физике, которая оперирует на границе пространства. Энтропия чёрной дыры — глубоко таинственная концепция, при этом равна энтропии излучения — вещи совершенно привычной.

Если вы обратили внимание, теория суперструн играет важную роль во всех этих делах. Хотя сегодня теория струн рассматривается как теория квантовой гравитации, в своё время она возникла как попытка описать сильные взаимодействия адронов. На сегодня сильные взаимодействия описываются квантовой хромодинамикой. Но при низких энергиях поток цветового поля от кварка до антикварка действительно подобен струне. Хоофт показал, что при увеличении числа цветов, понимание этих струн упрощается. При дополнительных специальных предположениях получается теория струн, которые живут в 5-мерном анти де Ситтеровском пространстве [ 24 ].

Хотя теория суперструн нынче весьма популярна, не все физики в восторге от нее. Вот одно не популярное мнение (фрагмент) [ 25 ]: „Экпсреиемтнланьая сиутация лчуше всего оипсываестя фарозй Паули: „Это джае не нперваиьлно“. Никто не суемл извлечь из эотй тоерии никкаих эскпремиетнаьлынх персдаказний, кроме того, что комслогочисеакя коснатнта, вреяонто, дожлна бтыь по карнйей мере на 55 продяков влеиичны блоьше, чем эксепрмиетнланьое оргнаичение для неё. Тероия Струн не тоьлко не длеает нкиаких предскзанаий отонсиетьлно физчиеских ялвений при экпсреиемнатьлно дотспуынх эенгряих, она не длееат нкикаих пресдакзаинй вообще. Даже если кто-то длоежн был вчыилсить зватра, как стротиь уксоиртлеь, спсобоынй доситчь эенгрий планоквксгоо мастшбаа, тоертекии стурн не будут спсоонбы на блошьее, чем дать кчаетсвненые прдепложонеия отонситеьлно того, что ткаая машина мгола бы вдиеть. Эта ситауиця ведёт к вопрсоу, ялвятеся ли тоеиря сртун дйетсвтиленьо нуанчой теорией воощбе. В нсаотщяее врмея это тоеиря, коотаря не мжоет быть флаьисфицриована никаикм мсыилмым эскпеирмнетланьым рзелуьттаом. Даже няенсо, сщуестувет ли ккаое-либо взоомнжое теореитчсекое рзаивите, коотрое флаьсфиицривоало бы тероию.

Мы изложили этот фрагмент несколько необычным способом, чтобы продемонстрировать ещё одну удивительную способность нашего мозга: „По результатам исследований одного английского университета, не имеет значения, в каком порядке расположены буквы в слове. Главное, чтобы первая и последняя были на месте. Остальные буквы могут следовать в полном беспорядке и всё равно текст можно прочитать. Причиной этого является то, что мы не читаем каждую букву по отдельности, а только всё слово целиком“ [ 26 ].

Расширяющая вселенная

Очень симметричная и пустая 5-мерная вселенная анти де Ситтера вряд ли похожа на нашу 4-мерную Вселенную, заполненную веществом и излучением, полную бурных событий. Даже если мы приблизительно заменим нашу реальную Вселенную той, в которой вещество и излучение распределены однородно, то получим не анти де Ситтеровскую вселенную, а так называемую вселенную Фридмана-Робертсона-Уокера. Многие космологи сегодня сходятся во мнении, что наша Вселенная именно такая — она бесконечна, не имеет границ и будет расширяться вечно.

Подтверждает ли такая вселенная голографический принцип или голографический предел? Аргумент Сасскинда, основанный на коллапсе в чёрную дыру, здесь не помогает. Действительно, голографический предел, выведенный на основе коллапса в чёрную дыру, должен нарушиться в однородной расширяющейся вселенной. Энтропия области, равномерно заполненной материей и излучением, и вправду пропорциональна её объёму. Следовательно, достаточно большая область такой вселенной нарушила бы голографический предел.

В 1999 г. Рафаель Боуссо, тогда из Стэнфорда, предложил модифицированный голографический предел, и впоследствии оказалось, что он работает даже в тех ситуациях, в которых пределы, ранее рассмотренные, не применимы. Формулировка Боуссо начинается некоей подходящей двухмерной поверхностью. Она может быть замкнута, как сфера, или открыта, как листок бумаги. Теперь вообразим, что лучи от короткой вспышки света исходят одновременно и перпендикулярно из каждой точки одной из сторон упомянутой поверхности. Единственное требование, чтобы эти воображаемые лучи сходились. Например, свет излучённый внутренней поверхностью сферической оболочки удовлетворяет этому требованию. Рассмотрим энтропию вещества и излучения, пронизываемых этими воображаемыми лучами света, до точек, где лучи начинают пересекаться. Боуссо предположил, что эта энтропия не может превышать предельную энтропию, связанную с первоначальной поверхностью — одной четвёртой её площади в единицах Планковской площади. Это другой способ подсчёта энтропии, отличный от того, что использовался в первоначальном голографическом пределе. Предел Боуссо имеет дело не с энтропией некоторого объёма в один и тот же момент времени, а с суммой энтропий разных областей в разные моменты времени: когда они „освещены“ вспышкой света от поверхности.

Предел Боуссо включает все другие энтропийные пределы, оставаясь при этом более общим. Как универсальный энтропийный предел, так и голографический предел в форме Хоофта-Сасскинда могут быть выведены из предела Боуссо для любой изолированной системы, которая не меняется слишком быстро и гравитационное поле которой слабое. Когда эти условия нарушаются, например, для коллапсирующей сферы вещества уже внутри чёрной дыры, эти пределы в конце концов нарушаются, тогда как предел Боуссо остаётся справедливым. Боуссо также указал стратегию, как найти двумерные поверхности, на которых голограммы нашего мира могут быть запечатлены.

Предвестники революции

Исследователями было предложено много других энтропийных пределов. Увеличение числа модификаций голографического мотива указывает, что предмет ещё не достиг статуса физического закона. Но несмотря на то, что голографический способ мышления не до конца ясен, он, похоже, останется с нами. Вместе с этим приходит понимание, что фундаментальная вера физиков последних 50 лет в то, что теория поля и есть наипервейший язык природы, должна померкнуть. Поля, такие как электромагнитные поля, меняются непрерывно от точки к точке, и, следовательно, имеют бесконечно много степеней свободы. Теория суперструн тоже имеет дело с бесконечно многими степенями свободы. Голография ограничивает число степеней свободы, которые могут быть внутри некоторой поверхности, конечным числом. Следовательно, теория поля со своими бесконечностями не может быть окончательной теорией. Даже если бесконечности как-то обузданы, всё равно потребуется объяснить таинственную зависимость информации от площади ограничивающей поверхности.

Голография может быть проводником к лучшей теории. На что похожа фундаментальная теория? Цепь рассуждений, включая голографию, подсказывает некоторым учёным, в частности Ли Смолину, из института Теоретической Физики Ватерлоо, что такая окончательная теория должна оперировать не полями, даже не пространством-временем, а обменом информацией между физическими процессами. Если это и вправду так, то взгляд на информацию, как на строительный материал Вселенной, найдёт достойное воплощение.

Теперь, может быть, самое время вспомнить максиму Мермина „Корреляции обладают физической реальностью, а то, что они коррелируют — нет“ [ 9 ]. Кто знает, может быть лет через сто, как думает Мермин, подобный образ мыслей действительно будет столь же привычен, как стал привычен для нынешних физиков образ электромагнитных полей в пустом пространстве. Но, похоже, подобный стиль мышления давно практикуется в Буддизме. „Джек Корнфилд, психолог и учитель буддийской випассаны, описывает своё первое знакомство с понятием анатты во время встречи с ныне покойным учителем тибетского буддизма Калу Ринпоче. Пытаясь извлечь из встречи с замечательным человеком как можно больше, Джек с энтузиазмом новичка обратился к Учителю с просьбой: „Не могли бы вы мне в нескольких фразах изложить самую суть буддийских учений?“ Калу Ринпоче ответил: „Я бы мог это сделать, но вы не поверите мне, и, чтобы понять, о чём я говорю, вам потребуется много лет“. Однако Джек вежливо настаивал: „Но вы всё равно, пожалуйста, объясните. Я ведь так хочу это знать!“ Ответ Калу Ринпоче был предельно краток: „Вас реально не существует“ [ 27 ].

падший ангелДа вас реально не существует за этим забором. Но вглядитесь повнимательнее, расслабьтесь, расфокусируйте ваше зрение, и вдруг из-за забора вам улыбнётся падший ангел и задаст хитроумный вопрос, что делается с ангельской информацией, когда танцующих ангелов на булавочной головке становиться слишком много и они сваливаются в чёрную дыру.

В своей замечательной работе 1975 года Хокинг этот вопрос поставил ребром и вызвал настоящий кризис в физике [ 28 ]. Дело в том, что согласно квантовой механике „рукописи не горят“. Хотя физические процессы могут перевести информацию в практически недоступную форму, в принципе она всегда восстановима. Писатель в момент отчаяния может сжечь рукопись, но информация не исчезнет: она будет закодирована в тонких корреляциях между многочисленными квантовыми состояниями фотонов и пепла, которые сопровождают пламя. При наличии соответствующей (ангельской) технологии, информацию из рукописи можно полностью восстановить изучая эти квантовые состояния фотонов и пепла [ 29 ].

Но согласно Хокингу, если рукопись бросить в чёрную дыру, с ней будет покончено навсегда. Конечно, некоторое время мы можем думать, что информация просто находится внутри чёрной дыры. Но они, эти дыры испаряются, излучая тепловое Хокинговское излучение, не несущее никакой информации. Давайте подождём, пока она испарится полностью. Правда, ждать придётся долго, около 10 66 лет для чёрной дыры с массой Солнца. Но будем полагаться на помощь ангелов. Ну и чего дождёмся? Чёрная дыра будет становиться всё меньше и горячее и в конце концов полностью исчезнет в фейерверке последнего взрыва. При этом, пока чёрная дыра жива, информация из рукописи находится всегда внутри горизонта событий и, следовательно, никак не может повлиять на фотоны Хокинговской радиации. Поэтому никакие тонкие корреляции между состояниями Хокинговских фотонов, которые могут кодировать информацию из рукописи, не возникнут, и когда чёрная дыра исчезнет, рукопись потеряется безвозвратно.

Физиков волнует, конечно, не сама рукопись, а то, что такое положение дел противоречит квантовой механике. Получается, что хотя бы один из оплотов современной физики, общая теория относительности или квантовая механика, требует модификации. Многие физики, особенно специалисты по гравитации, приняли точку зрения Хокинга, что информация действительно теряется, и квантовая механика требует модификации. Но не меньшее количество физиков, деятельность которых была связана с физикой элементарных частиц, хорошо знало, что структуру квантовой механики чрезвычайно трудно модифицировать так, чтобы с одной стороны допускать потерю информации, а с другой стороны не прийти немедленно в противоречие с твёрдо установленными экспериментальными фактами.

По этому поводу Стивен Хокинг, Кип Торн и Джон Прескилл в 1997 году даже заключили пари.

Стивен Хокинг, Кип Торн и Джон Прескилл

Вот текст этого пари [ 30 ]:

„Поскольку Стивен Хокинг и Кип Торн твёрдо верят, что информация, поглощённая чёрной дырой навсегда будет скрыта от внешнего мира, и никогда не может быть восстановлена, даже после того, как чёрная дыра испарится и полностью исчезнет.

И поскольку Джон Прескилл твёрдо верит, что должен существовать механизм, который позволит извлечь информацию из испаряющейся чёрной дыры, и что такой механизм будет найден в правильной теории квантовой гравитации.

Поэтому Прескилл предлагает, а Хокинг/Торн принимают следующее пари:

Когда начальное чистое квантовое состояние испытывает гравитационный коллапс и образует чёрную дыру, конечное состояние после испарения чёрной дыры всегда будет чистым квантовым состоянием.

Проигравшая сторона передают выигравшей стороне энциклопедию по выбору выигравшего, из которой можно извлечь информацию по желанию.“

Стивен ХокингНедавно Хокинг признал себя проигравшим в этом споре. Но сделал это так, что привлёк огромное внимание средств массовой информации, которые донесли до обычного обывателя, что Хокинг решил главную проблему физики. Он написал оргкомитету большой конференции по Общей Теории Относительности в Дублине, что нашёл решение проблемы информационного парадокса и хочет сделать пленарный доклад на конференции об этом своём открытии. Больше двух недель он всех держал в напряжении (хотя физики, основываясь на резюме доклада, который Хокинг предварительно прислал, сильно сомневались, что он откроет новую дорогу к решению этой давно известной и многосторонне изученной проблемы). Наконец 21-го июля он раскрыл свои карты и сделал обещанный доклад. И тут оказалось, что он сильно блефовал. „Тщеславие… Должно быть, оно есть характерная черта и особенная болезнь нашего века“ — метко заметил Лев Толстой.

С докладом Хокинга можно познакомиться, например, в [ 31 ]. После доклада Хокинг передал проигранную энциклопедию бейсбола Прескиллу, хотя этот последний честно признал, что не до конца понял аргумент Хокинга и не уверен, что предмет спора получил окончательное решение.

Джон Прескилл

Партнёр Хокинга, Кип Торн до сих пор не решил, считать ли себя проигравшим и готовить ли другую энциклопедию для Прескилла, и хочет дождаться научной статьи Хокинга с детальными расчётами. Он давно в меньшинстве (теперь покинутый даже Хокингом), так как после открытия Хуана Малдацена, о котором речь шла выше, многие физики стали думать, что информация не теряется даже в чёрной дыре, так как 5-мерная анти де Ситтеровская теория струн, с квантовой гравитацией и чёрными дырами, оказалась эквивалентна квантовой теории поля на границе анти де Ситтеровского пространства, без гравитации и чёрных дыр. А эта последняя полностью следует принципам квантовой механики и, следовательно, никакого информационного парадокса в нём нет.

Следует дождаться настоящей научной работы Хокинга, чтобы оценить, действительно ли он предлагает что нибудь новое и оригинальное. Но сам факт, что физик такого ранга, и так очень популярный и известный, ищет дешёвую популярность бульварных газет, наводит на грустные размышления. И грустя об ангелах попавших в чёрную дыру, вспоминаешь Фёдора Тютчева [ 32 ]:

Не плоть, а дух растлился в наши дни,
        И человек отчаянно тоскует…
                Он к свету рвётся из ночной тени
                И, свет обретши, ропщет и бунтует.

                Безверием палим и иссушён,
                Невыносимое он днесь выносит…
                И сознаёт свою погибель он,
                И жаждет веры… но о ней не просит…

        Не скажет ввек, с молитвой и слезой,
                Как ни скорбит перед замкнутой дверью:
                „Впусти меня! — Я верю, боже мой!
                Приди на помощь моему неверью!..“

Литература

www.scientific.ru

Статьи близкой тематики:
Перпетуум Мобиле.  З. К. Силагадзе.
Kвантовые чёрные дыры.  Бернард Карр, Стивен Гиддингс.
Современная астрономия.
Охота на чёрные дыры.  А. М. Черепащук.
Чёрные дыры во Вселенной.  И. Д. Новиков, В. П. Фролов.



2007 Copyright © AstroSearch.ru Мобильная Версия v.2015 | PeterLife и компания
Пользовательское соглашение использование материалов сайта разрешено с активной ссылкой на сайт
Яндекс.Метрика Яндекс цитирования